浸入空间上水平性等于法向性的度量

我们研究了形状空间上具有特别简单水平丛的浸入度量。具体而言，我们考虑紧流形 $M$ 到黎曼流形 $(N,\overline{g})$ 的浸入空间 $\operatorname{Imm}(M,N)$ 上的重参数化不变 Sobolev 度量 $G$。在每个浸入 $f$ 处的切空间 $T_f\operatorname{Imm}(M,N)$ 有两种自然的分裂：一种是相对于 $\overline{g}$ 切于/法向于曲面 $f$ 的分量分裂，另一种是相对于到无参数化浸入形状空间 $B_i(M,N)=\operatorname{Imm}(M,N)/\operatorname{Diff}(M)$ 的投影以及相对于度量 $G$ 的垂直/水平分量分裂。第一种分裂易于数值计算，而第二种分裂至关重要，因为它反映了形状空间及其上测地线的几何结构。为了促进形状空间上测地线的数值计算，我们刻画了使得这两种分裂重合的所有度量 $G$。在平面曲线的特殊情况下，我们表明可以通过在此类中选择足够强的度量来控制度量完备化中曲线的正则性。我们在多个示例中证明，我们的方法能够高效地计算形状空间上测地线边值问题的数值解。