平面伪测地线与平面全脐子流形

我们研究黎曼流形之间的全脐等距浸入。首先，我们给出具有平行单位化平均曲率向量的全脐等距浸入的一种新刻画，即那些具有非零平均曲率向量且平均曲率向量方向上的单位向量在法丛中是平行的浸入。该刻画基于一类称为平面伪测地线的曲线族，它代表了测地线与黎曼圆的一种自然外在推广：所谓平面，是指其在切空间中的 Cartan 展开在通常意义下是平面的；所谓伪测地线，是指其测地曲率与法曲率满足线性关系。我们详细研究这些曲线，特别地，建立了它们的局部存在性与唯一性。此外，在余维数为一的浸入情形，我们证明如下结论：等距浸入 $\iota \colon M \hookrightarrow Q$ 是全脐的，当且仅当 $M$ 的每条测地线的外在形状是平面的。这推广了关于 $\mathbb{R}^{3}$ 中曲面的一个熟知结果。