通过测地高斯映射的极小 Lagrange 子流形

对于一个定向等距浸入 $f:M\to S^n$，球面高斯映射是其单位法丛 $UM^\perp$ 到 $TS^n$ 的单位球面子丛的 Legendre 浸入，而测地高斯映射 $\gamma$ 将其投影到 $S^n$ 中的定向测地流形（即 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中定向 2-平面的 Grassmann 流形），从而给出 $UM^\perp$ 到 Kähler-Einstein 流形的 Lagrange 浸入。我们给出了球面高斯映射和测地高斯映射的平均曲率向量关于 $f$ 的第二基本形式的表达式，并表明当 $f$ 具有共形形状算子时，该表达式仅依赖于 $f$ 的平均曲率。特别地，我们推导出 $S^n$ 中每个极小曲面的测地高斯映射都是极小 Lagrange 的。我们还给出了简单的证明：$f$ 的形变总是对应于 $\gamma$ 的 Hamilton 形变；$\gamma$ 的平均曲率向量总是 Hamilton 向量场。这扩展了 Palmer 关于 $M$ 为超曲面情形的工作。