空间形式中法平坦子流形的高斯映射曲率
微分几何
2022-10-04 v2
摘要
对于空间形式中具平坦法丛的子流形，存在一组法向标准正交基可同时对角化相应的 Weingarten 算子，且这些算子满足简单的 Codazzi 对称性。当第二基本形式的相对零性指数为零时，由 Obata 定义的高斯映射的像为广义 Grassmann 流形中的子流形，其诱导度量由第三基本形式给出，对应于这些算子平方和。在此情形下，我们证明高斯像的 Riemann 曲率张量完全由原子流形的曲率与 Weingarten 算子所确定，其形式类似于将高斯映射的内在几何与原嵌入的外在几何相联系的高斯绝妙定理（theorema egregium）。为此，我们推导了诱导 Levi-Civita 联络的差向量，并以广义 Kulkarni-Nomizu 积表达了 Riemann 曲率张量。
引用
@article{arxiv.2209.06246,
title = {Curvature of the Gauss map for normally flat submanifolds in space forms},
author = {Javier Álvarez-Vizoso},
journal= {arXiv preprint arXiv:2209.06246},
year = {2022}
}