论曲率张量的确切含义及其一般框架
微分几何
2014-10-27 v1
摘要
我们明确了任意流形切丛的每个向量子丛的曲率张量，在非线性纤维丛总空间的切丛的水平子丛（即定义连接的丛）情况下，该张量退化为 Ehresmann 连接的曲率张量。于是，经典的 Frobenius 定理将通过我们此处定义意义上的零曲率张量来刻画切丛向量子丛的完全可积性。一个基本工具是关于向量子丛自然提升到以该子丛底空间为值域的映射流形上的曲率张量的结果。另一个是该映射流形上向量场李代数的局部化性质。这些允许证明两个互补子丛的曲率张量的加法公式。主要结果在于识别出沿所研究向量子丛的任意切路径，在互补向量子丛上存在一种自然的线性平行移动，这是向量丛上沿底空间投影路径的线性连接平行移动的正确推广。随后，我们推导了由两个不同互补子丛诱导的相应平行移动算子之商的微分方程，该方程用其曲率表示。利用这一点，我们获得了由曲率定义的向量子丛切路径无穷小变分的方程，该方程作为测地线无穷小变分 Jacobi 方程的根源出现。
引用
@article{arxiv.1410.6643,
title = {On the proper meaning of the curvature tensor and its general framework},
author = {Gheorghe Minea},
journal= {arXiv preprint arXiv:1410.6643},
year = {2014}
}