图或黎曼流形的常指数期望曲率
组合数学
2019-12-25 v1 离散数学
摘要
如果在黎曼流形或有限简单图的向量场上给定概率测度 m，则可将积分几何曲率定义为指数期望 K(x) = E[i(x)]。此类曲率是局部的，满足高斯-博内公式，且独立于任何外围空间中的嵌入。虽然对于一般情形（即便是 4-流形）实现常高斯-博内-陈曲率已不可能，我们证明对于紧连通流形，总能用支撑于莫尔斯梯度场上的 m 实现常曲率 K_m。我们给出不允许任何常 m-曲率的有限简单图实例，并证明对于一维连通图，存在维数等于图的第一贝蒂数的常曲率构型凸集。特别地，树总是有唯一的常曲率解。
引用
@article{arxiv.1912.11315,
title = {Constant index expectation curvature for graphs or Riemannian manifolds},
author = {Oliver Knill},
journal= {arXiv preprint arXiv:1912.11315},
year = {2019}
}
备注
17 pages, 2 figures