随机多边形的期望全曲率

我们考虑随机闭合多边形全曲率的期望值。数值实验表明，随着边数变大，随机闭合多边形的期望全曲率与具有相同转角数的随机开放多边形的期望全曲率之差趋近于一个正常数。我们证明了这对于一类自然的多边形概率测度是成立的，并给出了用边长分布矩表示该常数的公式。随后，我们考虑了由 Cantarella、Deguchi 和 Shonkwiler 构造的固定总长度闭合多边形上的对称测度。对于该测度，我们能够证明闭合 $n$ 边形的全曲率期望值恰好为 $\pi/2 n + (\pi/4) 2n/(2n-3)$。由此推论，我们证明了在三维空间中，至少有 $1/3$ 的固定长度六边形和 $1/11$ 的固定长度七边形是无结的。