三维空间中闭合等边随机游走的辛几何

三维空间中的闭合等边随机游走是指选取单位长度向量作为游走步长，并 conditioned on 假设这些向量之和为零。具有 $n$ 条边的此类游走的样本空间是 $\mathbb{R}^3$ 中等边闭合多边形的 $(2n-3)$ 维黎曼流形。我们利用多边形流形在旋转群 $\operatorname {SO}(3)$ 作用下的 $(2n-6)$ 维商空间的辛几何来研究闭合随机游走。研究的基本对象是等边随机多边形空间上的矩映射，由任意 $(n-3)$ 元组不相交对角线的长度给出。Atiyah-Guillemin-Sternberg 定理表明此类矩映射的像是 $(n-3)$ 维空间中的凸多面体，而 Duistermaat-Heckman 定理表明该多面体上的前推测度是 $\mathbb{R}^{n-3}$ 上的 Lebesgue 测度。结合这些定理，我们可以在闭合等边多边形空间上定义一组保测的“作用量 - 角度”坐标。新的坐标系使我们能够显式计算闭合（及受限）等边随机游走的总曲率和某些弦长的精确期望值，为多边形空间上的采样算法提供统计判据，并证明随机选取的等边六边形为非打结的概率至少为 $\frac{1}{2}$。随后，我们利用我们的方法构建了一种用于等边闭合多边形的新 Markov 链采样算法，并通过简单修改用于采样（有根的）受限等边闭合多边形。我们严格证明了该算法几何收敛于闭合随机游走空间上的标准测度，建立了基于我们方法的 Markov 链 Monte Carlo 积分的误差估计理论，并分析了我们方法的性能。我们的方法也适用于某些类型受限下的开放随机游走，一般而言也适用于具有任意（固定）边长的游走以及等边游走。