半直线上离散随机游走的谱量子化与单位圆上的正交多项式

我们定义了半直线上离散时间随机游走的量子化方案，该方案与 Szegedy 的有限马尔可夫链量子化相一致。受 Karlin 与 McGregor 用支撑于区间 $[-1,1]$ 上测度的正交多项式描述离散时间随机游走的启发，我们用单位圆上的正交多项式表示量子游走的酉演化算子。我们发现了随机游走的转移概率与相应量子游走多项式的 Verblunsky 系数之间的关系。我们表明这两类多项式系统及其测度由经典的 Szegő 映射相联系。我们的方案可应用于任意 Karlin 和 McGregor 随机游走，并推广了所谓的 Cantero-Grünbaum-Moral-Velázquez 方法。我们以与 Jacobi 多项式相关的随机游走为例说明了我们的方法。随后我们研究了具有常转移概率的随机游走的量子化，其中相应的单位圆上的多项式具有双周期实 Verblunsky 系数。我们给出了此类多项式谱的几何构造（一般复情形），推广了 Geronimus 多项式的已知构造。在附录中，我们给出了用第二类 Chebyshev 多项式表示的、具有任意周期系数的单位圆上正交多项式与实线上正交多项式的显式形式。