低维闭行走与自环图上的扭性矩

设 $G_S$ 为在 $G$ 的每个顶点 $S \subseteq V(G)$ 处连接环的图。本文在 $G_S$ 上 develop 3- 和 4- 维闭行走的精确公式，以顶点度数和 $G_S$ 的某些初等子图表示。随后，我们推导了完整二分图自环图、完整图、循环图等多个图族的具体闭行走公式。我们证明了这些不变量在 $G_S$ 中是非平凡的，而在无环的情况下则可能平凡。此外，我们研究了类似矩量 $\mathcal{M}_q(G_S)=\sum^n_{i=1} |\lambda_i(G_S) - \frac{\sigma}{n}|^q,$ 由 $G_S$ 的谱矩 $\mathsf{M}_1(G_S)$ 扭转，证明了其正性。我们还建立了以下比值不等式成立：$$\frac{\mathcal{M}_{1}}{\mathcal{M}_{0}} \leq \frac{\mathcal{M}_{2}}{\mathcal{M}_{1}} \leq \frac{\mathcal{M}_{3}}{\mathcal{M}_{2}} \leq \frac{\mathcal{M}_{4}}{\mathcal{M}_{3}} \leq \cdots \leq \frac{\mathcal{M}_{n}}{\mathcal{M}_{n-1}} \leq \cdots.$$ 作为结果，我们得到了以 $\mathcal{M}_i$ 为界的自环图能量 $\mathcal{E}(G_S)$ 的下界，扩展了一些经典界限。