解锁图的步矩阵

设 $G$ 为具有顶点集 $V=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ 与邻接矩阵 $A$ 的图。对 $V$ 的子集 $S$，令 $\e=(x_{1},\,\dots,\,x_{n})^{\tt T}$ 为 $S$ 的特征向量，即若 $v_{\ell}\in S$ 则 $x_{\ell}=1$，否则 $x_{\ell}=0$。则 $n\times n$ 矩阵 $$W^{S}:=\big[{\rm e},\,A{\rm e},\,A^{2}{\rm e},\dots,A^{n-1}{\rm e}\big]$$ 为 $G$ 关于 $S$ 的{\it 步矩阵}（walk matrix）。此名称源于如下事实：在 $W^{S}$ 中，对应于 $v_{\ell}$ 的行里第 $k$ 个条目是从 $v_{\ell}$ 到 $S$ 中某顶点的长度为 $k-1$ 的步数。由于 $A$ 对称，$S$ 的特征向量可唯一写为 $A$ 的特征向量之和。特别地，我们可枚举 $A$ 的相异特征值 $\mu_{1},\dots, \mu_{s}$ 使得 \begin{eqnarray}\label{SSA}{\rm SD}(S)\!:\,\e&=&\e_{1}+\e_{2}+\dots+\e_{r}\, \end{eqnarray} 其中 $r\leq s$，且对所有 $1\leq i\leq r$，$\e_{i}$ 是 $A$ 的属于 $\mu_{i}$ 的特征向量。我们称(\ref{SSA})为 $S$ 的{\it 谱分解}，或更确切地，其特征向量的谱分解。本文的关键结果是：步矩阵 $W^{S}$ 决定 $S$ 的谱分解，反之亦然。这对图的任意非空顶点集 $S$ 均成立，并给出了建立此对应关系的显式算法。特别地，我们证明出现在\,(\ref{SSA})\,中的相异特征向量个数等于 $W^{S}$ 的秩。由此结果可导出若干定理。我们证明若 $W^{S}$ 秩 $\geq n-1$，则 $W^{S}$ 决定 $G$ 的邻接矩阵。该定理是最佳可能的，因为存在这样的图对：它们具有秩为 $n-2$ 的相同步矩阵但邻接矩阵不同。