闭游走的支撑与归一化邻接矩阵的第二特征值重数

我们证明，对于任何最大度为 $\Delta$ 的连通图，其归一化邻接矩阵的第二特征值重数上界为 $O(n \Delta^{7/5}/\log^{1/5-o(1)}n)$（对任意 $\Delta$），对于简单的 $d$-正则图，当 $d\ge \log^{1/4}n$ 时，上界为 $O(n\log^{1/2}d/\log^{1/4-o(1)}n)$。事实上，对于包含第二特征值 $\lambda_2$ 且宽度为 $\lambda_2/\log_\Delta^{1-o(1)}n$ 的任何区间内的特征值数量，同样的界限也成立。证明的主要成分是对任何连通图中长度为 $2k$ 的闭随机游走的典型支撑给出的多项式（关于 $k$）下界，这反过来依赖于对归一化邻接矩阵的子矩阵的 Perron 特征向量元素的新下界。