关于相对化 Alon 第二特征值猜想 I：主要定理、例子与证明概要

这是六篇系列文章中的第一篇，旨在证明：对于到固定正则图的大度数典型覆盖映射，其新的邻接特征值落在 Alon 对随机正则图所猜想的界内。我们发展的许多技术无论底图是否正则均成立。本系列的第一主要定理是：若底图为 $d$-正则图，则对任意 $\epsilon>0$，当覆盖映射的度数 $n$ 趋于无穷时，该映射的某个新邻接特征值的绝对值大于 $2(d-1)^{1/2}+\epsilon$ 的概率至多为 $1/n$ 阶。第二主要定理是：若此外底图为 Ramanujan 图，则该概率被我们称之为模型的缠结幂（tangle power，即度数为 $n$ 的随机覆盖映射概率空间）的正整数次幂 $1/n$ 从上方和下方界定。缠结幂相当容易从下方界定，有时可精确计算；它度量某些缠结（tangle，即迫使覆盖图具有严格大于 $2(d-1)^{1/2}$ 的新特征值的局部事件）在随机覆盖图中出现的概率。我们的主要定理是 Alon 关于大度数随机正则图第二特征值猜想的相对化。在本系列的第一篇文章中，我们引入本系列所需的所有术语，阐明这些术语的动机，精确陈述其余文章中的所有结果，并就其证明作若干评注。因此，本文提供了整个系列文章的概览；此外，本系列其余文章可彼此独立阅读。