随机图的扩张：新证明，新结果

我们提出了一种新的方法来证明随机图是近乎最优的扩张子。该方法基于组合群论中近期的一些深刻结果。它同时适用于正则和非正则随机图。设G为n个顶点上的随机d-正则图，λ为其邻接矩阵非平凡特征值的最大绝对值。Alon [86']曾猜想随机d-正则图几乎是Ramanujan图，即对于任意e>0，渐近几乎必然有λ<2√(d-1)+e。Friedman在[08']中著名地给出了该猜想的证明。这里我们提出一个更简单的新证明，得到一个近乎最优的结果：我们证明随机d-正则图渐近几乎必然满足λ<2√(d-1)+1。我们方法的一个主要优点是它适用于一个推广的猜想：对于偶数d，n个顶点上的d-正则图是d/2个环的花束的n重覆盖空间。更一般地，固定一个任意基图H，我们研究H的随机n重覆盖图G的谱。设λ为G的非平凡特征值的最大绝对值。将Alon猜想推广到这一更一般的模型，Friedman [03']猜想对于任意e>0，渐近几乎必然有λ<ρ+e，其中ρ是H的万有覆盖的谱半径。当H为正则时，我们得到ρ+0.84的界；对于任意H，我们证明了一个近乎最优的上界√3ρ。这比所有已知结果（Friedman、Linial-Puder、Lubetzky-Sudakov-Vu和Addario-Berry-Griffiths的结果）有显著改进。