拉曼杨金性质与随机正则图的边缘普适性

我们考察具有任意固定度数 $d\geq 3$ 的 $N$ 个顶点的随机 $d$ 正则图的归一化邻接矩阵，其特征值为 $\lambda_1=d/\sqrt{d-1}\geq \lambda_2\geq\lambda_3\cdots\geq \lambda_N$。当 $N\rightarrow \infty$ 时，我们建立以下两个结果。（i）以高概率，所有特征值都具有最佳刚性，具体而言，bulk 区域特征值的波动被控制在 $N^{-1+{\rm o}(1)}$ 范围内，边缘区域特征值的波动被控制在 $N^{-2/3+{\rm o}(1)}$ 范围内。（ii）随机 $d$ 正则图具有边缘普适性，即 $\lambda_2$ 与 $-\lambda_N$ 的分布收敛于与高斯正交群（Gaussian Orthogonal Ensemble）相关的 Tracy-Widom$_1$ 分布。由此可得，对于足够大的 $N$，约有 $69\%$ 的 $d$ 正则图为拉曼杨金图，即 $\max\{\lambda_2,|\lambda_N|\}\leq 2$。