具有离散标度不变性的随机图谱

在网络重整化的背景下，最近发现了由在节点聚合下保持不变的发生概率所定义的随机图。这种不变性要求边以特定概率绘制，在退火情况下，该概率取决于必然具有无穷均值的节点适应度。发散的均值决定了许多在具有独立边的模型中不常见、但在现实网络中却广泛存在的性质。这里我们关注该模型邻接矩阵的前导特征值和特征向量，其中 n 个节点被赋予 Pareto($\alpha$) 分布的适应度，且 0 < $\alpha$ < 1。我们发现前导特征值均为 $\sqrt{n}$ 量级，符号交替，且位于实轴与复平面上对数螺线的交点处，我们用 Gamma 函数对其进行了分析表征。我们还计算了相关的特征向量，发现它们表现出复值标度指数和对数周期性，这是离散标度不变性的标志。与具有有限均值变量的随机图的典型有限秩行为相反，我们发现越来越多的前导特征值从体态中涌现，其边缘一直延伸到 $\sqrt{n}$ 量级，因此达到了与结构特征值相同的尺度。