随机马尔可夫矩阵的主特征向量
概率论
2026-02-18 v2 统计力学
摘要
我们分析了连续时间和离散时间随机漫步在随机加权完全有向图上的不变分布。这一分布对应于作为随机矩阵的关联随机马尔可夫生成器和核的主左特征向量。尽管关于这些矩阵谱的许多结果已为人所知，但关于主左特征向量的研究相对有限，这些特征向量是微妙的随机对象，尚无显式形式。我们考虑了一广泛的矩阵类，通过为完全有向图的顶点和边关联随机权重来实现。我们的主要结果涉及连续时间随机漫步的不变分布与与顶点权重成反比的分布之间的总变距离。其表明，如果边权独立同分布且具有某个 p>4 的有限 p 次矩，则该距离几乎必然收敛于零，随着顶点数目增大，即使顶点权重呈重尾分布亦然。我们进一步回答了 Bordenave、Caputo 和 Chafa"i 的问题，表明尽管对应马尔可夫核条目之间存在相关性，其不变分布几乎必然收敛于均匀分布，只要边权具有有限的二阶矩。
引用
@article{arxiv.2505.01608,
title = {On the principal eigenvectors of random Markov matrices},
author = {Jacob Calvert and Frank den Hollander and Dana Randall},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.01608},
year = {2026}
}
备注
Substantially revised; improved main result and a new proof of a conjecture; 13 pages, 2 figures