零均值随机游动超越量的稳定性

我们证明，对于实直线上的随机游动，若其增量具有零均值且为整数值或扩散的（即游动步长的分布最终为非奇异的），则高于固定水平的超越量所构成的马尔可夫链在总变差意义下收敛到其平稳分布。我们启发式地给出了该分布显式形式，随后利用时间反演论证证明了其不变性。如果此外该游动的增量吸引于指标 $\alpha\in(1,2)$ 的非单侧 $\alpha$-稳定律（分别对应具有有限方差），我们建立了超越量马尔可夫链的几何（对应一致）遍历性。上述所有收敛结果对通过游动进入区间的进入时刻采样所得的马尔可夫链同样成立。