具有双侧膜的 $\mathbb Z^m$ 上随机游动的极限行为

我们研究 $\mathbb Z^m$（$m\geq 2$）上的马尔可夫链，其在超平面（膜）$H=\{0\}\times \mathbb Z^{m-1}$ 之外表现为标准对称随机游动。膜 $H$ 上的转移概率是周期的，且依赖于进入 $H$ 的方向，这使得膜 $H$ 是双侧的。此外，允许沿膜滑动。我们证明此类马尔可夫链的自然缩放极限是一个 $m$ 维扩散，其第一个坐标是斜布朗运动，其余 $m-1$ 个坐标是受第一个坐标在 $0$ 处局部时控制的带奇异漂移的布朗运动。在证明中，我们利用 Walsh 布朗运动的鞅刻画，并确定了有效渗透率和滑动方向。最后，针对无滑动且转移概率为独立同分布随机的一侧膜，建立了类似的收敛定理。