马尔可夫链基本定理的多种证明

本文综述了所谓“马尔可夫链基本定理”的多种证明：每个遍历马尔可夫链都有唯一的正平稳分布，且无论链初始分布如何，链在极限下均达到该分布。由于马尔可夫链是随机过程，使用基于概率的论证进行证明是自然的。同时，马尔可夫链的动力学完全由其初始分布（一个向量）与转移概率矩阵刻画，因此也可使用基于矩阵分析与线性代数的论证。下文讨论的证明使用了这两类论证之一，仅有一例为图论论证。正文给出了各证明的相应署名。我们的第一个证明完全初等，却也十分简洁。该证明还给出了一个混合时间界，我们给出了证明，但在许多情形下此界并非最优。证明基本定理的一种思路将证明分为两部分：(i) 证明不可约马尔可夫链存在唯一正平稳分布；(ii) 假设遍历链确有平稳分布，证明无论初始分布如何，链在极限下收敛于该分布。对(i)，我们综述两种证明，一用概率论证，一用图论论证。对(ii)，我们首先给出基于耦合的证明（耦合是一种基于概率的技术），另一则使用矩阵分析。最后，我们仅用线性代数概念给出基本定理的一个证明。