平稳入口链及其在随机游走中的应用

对于取值于 Polish 空间的 Markov 链 $Y$，考虑入口链，即在其从补集 $A^c$ 进入固定集 $A$ 的时刻对 $Y$ 进行采样而得到。类似地，考虑出口链，即在其从 $A^c$ 离开进入 $A$ 的时刻对 $Y$ 进行采样而得到。我们利用遍历论中的诱导方法来研究这两类 Markov 链的不变测度，前提是初始链 $Y$ 具有已知的不变测度。我们在关于 $A$ 和 $A^c$ 的某些递归型假设下，给出了入口链和出口链不变测度的显式公式，这些公式甚至适用于瞬态链。随后，在假设 $Y$ 是拓扑递归、拓扑不可约且弱 Feller 的条件下，我们研究了这些不变测度的唯一性和遍历性。我们将所得结果应用于 $\mathbb{R}^d$ 中的随机游走，将其视为在 Lebesgue 测度下启动的“平稳”Markov 链。我们主要关注一维情形，研究了在 $-\infty$ 和 $+\infty$ 之间振荡的随机游走在零水平以上过冲量的 Markov 链。我们证明了该链是遍历的，并利用这一结果证明了增量为零均值且有限方差的随机游走的水平穿越次数的中心极限定理。