二部大加权随机图的本征值分布：预解式方法

我们研究加权随机二部图 $\Gamma= \Gamma_{N,p}$ 的邻接矩阵 $A^{(N,p, \alpha)}$ 的本征值分布。我们假设图有 $N$ 个顶点，两部分的比率为 $\frac{\alpha}{1-\alpha}$，且附着于一个顶点的边的平均数为 $\alpha\cdot p$ 或 $(1-\alpha)\cdot p$。对于图的每条边 $e_{ij}$，我们赋予一个由具有有限二阶矩的随机变量 $a_{ij}$ 给出的权重。我们考虑 $A^{(N,p, \alpha)}$ 的预解式 $G^{(N,p, \alpha)}(z)$，并研究在 $N\to \infty$ 极限下的函数 $f_{1,N}(u,z)=\frac{1}{[\alpha N]}\sum_{k=1}^{[\alpha N]}e^{-ua_k^2G_{kk}^{(N,p,\alpha)}(z)}$ 和 $f_{2,N}(u,z)=\frac{1}{N-[\alpha N]}\sum_{k=[\alpha N]+1}^Ne^{-ua_k^2G_{kk}^{(N,p,\alpha)}(z)}$。我们导出唯一确定极限函数 $f_{1}(u,z)$ 和 $f_{2}(u,z)$ 的封闭方程组。该方程组使我们能够证明极限测度 $\sigma_{p, \alpha}$ 的存在性。并证明了归一化本征值计数测度的概率弱收敛。