单模随机图在谱顶附近的非集中性

在近期关于等角线的工作中，Jiang、Tidor、Yuan、Zhang和Zhao证明了连通有界度图具有次线性第二特征值重数。更一般地，他们证明了在谱的顶部附近不能有太多特征值。我们将此结果推广到无限单模随机图。作为推论，邻接算子的谱分布在顶部不能有原子。对于无限正则扩展图，我们推导出谱测度在顶部的奇异性满足 $\mu_G[(1-\theta)\rho,\rho] \lesssim \theta^c$，其中 $c>0$ 为常数，$\rho$ 为图邻接算子的谱半径。这给出了随机游走返回概率的新的一般估计。