边不交生成树谱不等式的极值图

Liu、Hong、Gu 和 Lai 证明：若图 $G$ 的邻接矩阵的第二大特征值在最小度 $\delta \ge 2m+2 \ge 4$ 时满足 $\lambda_2(G) < \delta - \frac{2m+1}{\delta+1}$，则 $G$ 包含至少 $m+1$ 棵边不交生成树，这验证了 Cioabă 和 Wong 猜想的一个推广。我们构造了所有 $d \ge 2m+2 \ge 4$ 下的 $d$-正则图 $\mathcal{G}_{m,d}$，其至多含 $m$ 棵边不交生成树且 $\lambda_2(\mathcal{G}_{m,d}) < d-\frac{2m+1}{d+3}$，表明该界本质上是最优的。作为推论，我们表明 Cioabă、Dewar 和 Gu 关于图刚性的一个谱不等式本质上是紧的。