关于图的 $k$ 个最大距离特征值之和

对于阶为 $n$ 的连通图 $G$ 与整数 $k\geq 1$，记 $$S_k(D(G))=\lambda_1(D(G))+\cdots+\lambda_k(D(G))$$ 为 $G$ 的 $k$ 个最大距离特征值之和。本文考虑 $S_k(D(G))$ 的紧上界与下界。分别确定了 $G$ 为连通图与树时 $S_k(D(G))$ 的紧下界，并刻画了相应的极值图。此外，我们猜想上当 $G$ 为阶 $n$ 的路时达到上界，并证明了支持该猜想的部分结果。为证明结论，我们得到了 $\lambda_2(D(G))$ 关于 $G$ 的阶与直径的紧上界，其中 $\lambda_2(D(G))$ 为 $G$ 的第二大距离特征值。作为应用，我们证明了一个涉及 $\lambda_2(D(G))$、$G$ 的独立数与 $G$ 中三角形个数的不等式。一个直接推论是 Fajtlowicz 的一个猜想，该猜想已在 \cite{L15-L} 中由不同论证确认。我们以若干开放问题结束本文以供进一步研究。