符号图最大特征值与拉普拉斯特征值和的上界

本文考虑符号图最大特征值以及 $k$ 个最大拉普拉斯特征值和的上界。首先，我们给出符号图邻接矩阵最大特征值的上界，并刻画实现该上界的极端图。其次，我们证明，如果符号图 $\Gamma$ 的秩为 $n$、大小为 $m$，且 $\lambda_{1}(\Gamma)\ge \sqrt{m-1}$、$\lambda_{1}(\Gamma) \ge |\lambda_{n}(\Gamma)|$ 且 $\Gamma\not \sim (C_{5}\cup (n-5)K_{1},+)$，则 $\Gamma$ 包含一个平衡三角形，其中 $\lambda_{1}(\Gamma)$ 为符号图 $\Gamma$ 邻接矩阵的最大特征值。第三，我们确认了在 [Linear Multilinear Algebra 51 (1) (2003) 21--30] 中提出的猜想：如果 $\Gamma$ 是连通符号图，则 $$\sum_{i=1}^{k}\mu_{i}(\Gamma) >\sum_{i=1}^{k}d_{i}(\Gamma)~~(1\le k\le n-1),$$其中 $\mu_{1}(\Gamma)\ge\mu_{2}(\Gamma)\ge\cdots \ge \mu_{n}(\Gamma)$ 为 $\Gamma$ 的拉普拉斯特征值，$d_{1}(\Gamma)\ge d_{2}(\Gamma)\ge \dots \ge d_{n}(\Gamma)$ 为 $\Gamma$ 的顶点度。最后，我们给出连通符号图 $k$ 个最大拉普拉斯特征值和的下界。