$\mathbb{Z}_{n}$ 的共极大图的拉普拉斯谱

本文致力于求环 $\mathbb Z_n$（$n> 2$）的共极大图 $\Gamma(\mathbb Z_n)$ 的拉普拉斯矩阵的特征值。我们对多种 $n$ 确定了 $\Gamma(\mathbb Z_n)$ 的特征值，并给出了对任意 $n> 2$ 求 $\Gamma(\mathbb Z_n)$ 特征值的方法。我们证明了当 $n=p^\alpha q^\beta$（其中 $p,q$ 为素数，$\alpha, \beta$ 为非负整数）时，$\Gamma(\mathbb Z_n)$ 是拉普拉斯整图。我们证明了对所有 $n> 2$，$\Gamma(\mathbb Z_n)$ 的代数连通度与顶点连通度相等。获得了 $\Gamma(\mathbb Z_n)$ 第二大特征值的的上界，并给出了其取等号的充要条件。最后我们讨论了 $\Gamma(\mathbb Z_n)$ 的谱半径的重数与代数连通度的重数。文末讨论了若干供进一步研究的问题。