$\mathbb{Z}_n$ 生成图的谱界

设 $G$ 为一个群。如果群 $G$ 可以由其 $k$ 个元素生成，则称该群为 $k$-生成的。若 $G$ 的某个生成集没有任何真子集能生成 $G$，则称其为极小生成集。群的极小生成集可以具有不同的大小。群 $G$ 的生成图 $\Gamma(G)$ 定义为以 $G$ 为顶点集的图，其中两个不同顶点相邻当且仅当它们共同生成 $G$。该图在研究 2-生成群时尤为有用。在此背景下，考虑群 $G = \mathbb{Z}_n$，即模 $n$ 整数群。在本文中，我们探讨了生成图 $\Gamma(\mathbb{Z}_n)$ 的各种图论性质，并研究了其邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的谱。此外，我们显式确定了 $\mathbb{Z}_n$ 的所有大小为 $k$ 的极小生成集的集合。