有限 $G$-图的结构性质及其刻画研究

$G$-图 $\Gamma(G,S)$ 是由集合 $S\subseteq G$ 生成的群 $G$ 所对应的图，其顶点为循环子群 $\langle s \rangle$ ($s\in S$) 的右陪集，若两个不同陪集之间有 $k$ 个元素相交，则它们之间存在 $k$ 条边。在本文中，在介绍 $G$-图的一些重要性质后，我们展示了 $G$-图如何依赖于群的生成集。我们给出了对称群、交错群和半二面体群关于各种生成集的 $G$-图。我们对有限 $G$-图进行了刻画，包括一般情形和二部图情形。利用这些刻画，我们给出了几类属于 $G$-图的图类。例如，我们考虑了 Tur\'{a}n 图、柏拉图图以及双正则图（如几何构型的 Levi 图）。我们强调了 $G$-图的结构性质及其与群 $G$ 和生成集 $S$ 的关系。作为进一步研究的初步结果，我们给出了各种有限 $G$-图的邻接矩阵和谱。作为一个应用，我们计算了这些图的能量。我们还提出了关于无限 $G$-图的一些初步结果，其中我们考虑了无限群 $SL_2(\mathbb{Z})$ 和一个无限非阿贝尔矩阵群的 $G$-图。