与有限群关联的幂图的某些性质

有多种方式将定向图或无向图与群相关联。研究这些图的结构与利用关联图的某些性质来刻画群的特定性质之间的关系可能很有趣。群 $G$ 的幂图 $\mathcal{P}(G)$ 是一个简单图，其顶点集为 $G$，且 $G$ 中的两个顶点 $x$ 和 $y$ 相邻当且仅当存在某个正整数 $m$ 使得 $y=x^m$ 或 $x=y^m$。我们还关注 $\mathcal{P}(G)$ 的子图 $\mathcal{P}^\ast(G)$，该子图是通过删除顶点 1（即 $G$ 的单位元）而得到的。在本文中，我们首先研究了幂图 $\mathcal{P}(G)$ 和子图 $\mathcal{P}^\ast(G)$ 的一些性质。接着，我们证明了在许多有限群（如有限单群、对称群以及散在单群的自同构群）中，这些群可以在所有有限群中由其幂图唯一确定。我们还确定了使得图 $\mathcal{P}^\ast(G)$ 分别为强正则图、二部图、平面图或欧拉图的任何有限群 $G$ 的同构类结构。最后，我们获得了一些有限群的无限族，使得图 $\mathcal{P}^\ast(G)$ 包含某些割边。