关于群的幂图与增强幂图的若干新结果

群 $\mathbf G$ 的有向幂图 $\vec{\mathcal P}(\mathbf G)$ 是以 $G$ 为顶点集的简单有向图，满足若 $y$ 是 $x$ 的幂则 $x\rightarrow y$。群 $\mathbf G$ 的幂图记为 $\mathcal P(\mathbf G)$，为其底层简单图。群 $\mathbf G$ 的增强幂图 $\mathcal P_e(\mathbf G)$ 是以 $G$ 为顶点集的简单图，其中两元素相邻当且仅当它们生成一个循环子群。本文证明了若两个群具有同构的幂图，则它们也具有同构的增强幂图。已知任何阶至多被两个素数整除的有限幂零群具有完美的增强幂图。我们探究该性质是否对一切有限群成立，并得到了否定的回答。进一步，我们证明了对于任意 $n\geq 0$ 及素数 $p$、$q$，每个阶为 $p^nq$ 与 $p^2q^2$ 的群都具有完美的增强幂图。我们还给出了具有完美增强图的对称群与交错群的完整刻画。