增强幂图的若干性质

给定一个群 $G$，其增强幂图记为 $\mathcal{G}_e(G)$，是以 $G$ 为顶点集的图，若对于某些 $m, n\in \mathbb{N}$，存在 $z\in G$ 使得 $x=z^m$ 且 $y=z^n$，则两个不同的顶点 $x, y$ 在 $\mathcal{G}_e(G)$ 中边相连。本文中，我们刻画了 $G$ 的增强幂图 $\mathcal{G}_e(G)$。图 $\mathcal{G}_e(G)$ 是完全图当且仅当 $G$ 是循环群，且 $\mathcal{G}_e(G)$ 是欧拉图当且仅当 $|G|$ 为奇数。我们分类了所有阿贝尔群以及所有满足 $\mathcal{G}_e(G)$ 具有锥性质的非阿贝尔 $p$-群 $G$。