有限群的增强幂图的补图

有限群 $G$ 的增强幂图 $\mathcal{P}_E(G)$ 是以 $G$ 为顶点集的简单无向图，若两个不同顶点 $x, y$ 对某个 $z \in G$ 满足 $x, y \in \langle z \rangle$，则它们相邻。在本文中，我们肯定地回答了 Cameron [6] 提出的一个问题，即：对于非循环群 $G$，其增强幂图的补图 $\bar{\mathcal{P}_E(G)}$ 除孤立顶点外是否只有一个连通分支？我们对所有使得图 $\bar{\mathcal{P}_E(G)}$ 为二部图的有限群 $G$ 进行了分类。我们证明图 $\bar{\mathcal{P}_E(G)}$ 是弱完美的。进一步，我们研究由 $\bar{\mathcal{P}_E(G)}$ 的所有非孤立顶点诱导的子图 $\bar{\mathcal{P}_E(G^*)}$。我们对所有使得该图 $\bar{\mathcal{P}_E(G^*)}$ 为单环图和五环图的有限群 $G$ 进行了分类。我们证明了不存在有限群 $G$ 使得图 $\bar{\mathcal{P}_E(G^*)}$ 为双环图、三环图或四环图。最后，我们分别刻画了所有使得图 $\bar{\mathcal{P}_E(G^*)}$ 为外平面图、平面图、射影可平面图和可嵌入环面图的有限群 $G$。