无挠群的幂图

群 $G$ 的\emph{幂图} $P(G)$ 是以 $G$ 为顶点集的图，若其中一个元素是另一个元素的幂，则连接这两个顶点；\emph{有向幂图} $\vec{P}(G)$ 具有相同的顶点集，若 $y$ 是 $x$ 的幂，则存在一条从 $x$ 到 $y$ 的弧。已知对于有限群，幂图在同构意义上决定了有向幂图。然而，幂图之间的任何同构并不一定诱导有向幂图之间的同构。此外，对于无限群，幂图可能无法决定有向幂图。在本文中，我们考虑无挠群的幂图。我们的主要结果是：对于类数至多为 2 的无挠幂零群，以及对于每个非单位元都位于唯一极大循环子群中的群，其幂图在同构意义上决定了有向幂图。对于 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Q}$ 等特定群，我们获得了更精确的结果。任何同构 $P(\mathbb{Z})\to P(G)$ 都保持定向，从而诱导有向幂图之间的同构；而在 $\mathbb{Q}$ 的情况下，定向要么全部保持，要么全部反转。我们还获得了关于每个元素都包含在唯一极大循环子群中的群（此类包括自由群和自由阿贝尔群）、关于 $\mathbb{Q}$ 的加法子群以及关于 $\mathbb{Q}^n$ 的结果。