有限群幂图的树数研究

给定群 $G$，我们定义幂图 $\mathcal{P}(G)$ 如下：顶点为 $G$ 的元素，若 $\langle x \rangle \subseteq \langle y \rangle$ 或 $\langle y \rangle \subseteq \langle x \rangle$，则两顶点 $x$ 与 $y$ 间连一条边。显然任意群的幂图总是连通的，因为群的恒等元与所有其他顶点相邻。我们考虑 $\kappa(G)$，即有限群 $G$ 的幂图的生成树个数。本文中，对有限群 $G$，我们首先给出 $\mathcal{P}(G)$ 的一些性质，然后寻找 $\kappa(G)$ 的一些因子，最后证明单群 $A_6\cong L_2(9)$ 在所有有限单群中由其幂图的树数唯一确定。