与有限群元素阶之和相关的一个图

若对有限群 $G$ 的任意子群 $H$ 均有 $\psi(H)|\psi(G)$，则称有限群为 $\psi$-可除的。此处 $\psi(G)$ 为 $G$ 的元素阶之和。迄今为止，此类群的唯一已知例子是平方自由阶的循环群。非交换 $\psi$-可除群的存在性仍是一个开放问题。本文旨在建立 $\psi$-可除性质与图论之间的联系。因此，对有限群 $G$，我们引入一个称为 $G$ 的 $\psi$-可除图的简单无向图，记为 $\psi_G$。其顶点为 $G$ 的非平凡子群，而两个不同顶点 $H$ 与 $K$ 相邻当且仅当 $H\subset K$ 且 $\psi(H)|\psi(K)$，或 $K\subset H$ 且 $\psi(K)|\psi(H)$。我们证明 $G$ 是 $\psi$-可除的当且仅当 $\psi_G$ 具有一个全域（支配）顶点。此外，当 $G$ 为有限循环群时，我们研究了 $\psi_G$ 的各种性质。将研究限制于该特定群类的动机在文中给出。