自相似群与图的 Zig-zag 积及 Replacement 积

每个有限生成的自相似群自然产生一个有限的 $d$-正则图序列 $\Gamma_n$。我们构造了自相似群，其图 $\Gamma_n$ 可表示为迭代的 zig-zag 积与图幂运算：\Gamma_{n+1}=\Gamma_n^k\mathop{\mbox{\textcircled{z}}}\Gamma ($k\geq 1$)。我们还构造了自相似群，其图 $\Gamma_n$ 可表示为迭代的 replacement 积与图幂运算：\Gamma_{n+1}=\Gamma_n^k\mathop{\mbox{\textcircled{r}}}\Gamma ($k\geq 1$)。这提供了简单的显式自相似群示例，其图 $\Gamma_n$ 构成一个扩张族；同时也提供了自动机群示例，其图 $\Gamma_n$ 具有线性直径 ${\rm diam}(\Gamma_n)=O(n)$ 和有界围长。