可数超齐次图自同构群的拓扑2-生成

如果有限诱导子图之间的每个同构都能扩展为自同构，则可数图是超齐次的。Woodrow 和 Lachlan 证明了本质上存在四种此类可数无限图：随机图；具有 $n\in \mathbb{N}$ 个顶点的完全图 $K_n$ 的无限不相交并；无 $K_n$ 图；无限完全图 $K_{\omega}$ 的有限并；以及此类图的对偶。此类图 $\Gamma$ 的自同构群 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$ 具有自然拓扑，该拓扑与乘法和逆兼容，即 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$ 是拓扑群。我们考虑为 $\Gamma$ 为超齐次图时寻找群 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$ 的极小生成稠密子群的问题。我们证明若 $\Gamma$ 是超齐次的，则 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$ 具有2-生成的稠密子群，并且在特定条件下给定 $f \in \operatorname{Aut}(\Gamma)$，存在 $g\in \operatorname{Aut}(\Gamma)$ 使得由 $f$ 和 $g$ 生成的子群是稠密的。我们还证明，粗略而言，$g$ 可以以高度自由的方式选择。例如，若 $\Gamma$ 是完全图 $K_n$ 的无限不相交并或 $K_{\omega}$ 的有限并，则 $g$ 可被选择为具有任意给定的有限轨道代表元集。