有限交换环的零因子图的特征值

我们研究有限交换环 $R$ 的零因子图 $\Gamma(R)$ 的特征值,并考察这些特征值、$R$ 的环论性质与 $\Gamma(R)$ 的图论性质之间的相互作用。图 $\Gamma(R)$ 定义为以 $R$ 的所有非零零因子为顶点集,且当 $xy = 0$ 时顶点 $x,y$ 相邻的图。我们给出了 $\Gamma(R)$ 的零度(即特征值 0 的重数)的公式。此外,对于素数 $p$,我们精确确定了 $\Gamma(\mathbb Z_p \times \mathbb Z_p \times \mathbb Z_p)$ 与 $\Gamma(\mathbb Z_p \times \mathbb Z_p \times \mathbb Z_p \times \mathbb Z_p)$ 的谱。我们引入一种图乘积 $\times_{\Gamma}$,使得当 $R \cong R_1 \times \ldots \times R_r$ 时有 $\Gamma(R) \cong \Gamma(R_1) \times_{\Gamma} \ldots \times_{\Gamma} \Gamma(R_r)$。借助该乘积,我们发现了零因子图 $\Gamma(R)$ 的顶点数、压缩零因子图、$R$ 的环结构以及 $\Gamma(R)$ 的特征值之间的关系。