有限交换环的零因子图作为阈值图的实现

设 $R$ 为带单位元的有限交换环，$G = (V, E)$ 为简单图。零因子图记为 ${\Gamma}(R)$，是以 $R$ 为顶点集的简单图，两个顶点 $x, y \in R$ 在 ${\Gamma}(R)$ 中相邻当且仅当 $xy = 0$。在 [10] 中，作者研究了图 ${\Gamma}(Z_n)$ 的拉普拉斯特征值，并对 $n$ 的互异真因子 $d_1, d_2, \dots, d_k$，定义集合为 $A_{d_i} = {x \in Z_n : (x, n) = d_i}$，其中 $(x, n)$ 表示 $x$ 与 $n$ 的最大公因数。本文中，我们证明集合 $A_{d_i}$（$1 \leq i \leq k$）实际上是群作用 $\text{Aut}({\Gamma}(R)) \times R \longrightarrow R$ 的轨道，其中 $\text{Aut}({\Gamma}(R))$ 表示 ${\Gamma}(R)$ 的自同构群。我们的主要目标是确定阈值图的新类，因为这些图在若干应用领域中起着重要作用。对于约化环 $R$，我们证明 ${\Gamma}(R)$ 是连通阈值图当且仅当 $R = F_q$ 或 $R = F_2 \times F_q$。我们给出由若干类局部环实现的阈值图类。最后，我们刻画了所有零因子图不是阈值图的带单位元有限交换环。