$\mathbb{Z}_n$、其乘积与 $D_n$ 的零因子图

本文致力于讨论模 $n$ 整数环 $\mathbb{Z}_n$ 的零因子图的一些性质。交换环 $R$ 的零因子图是一个无向图，其顶点为 $R$ 的非零零因子，若两个不同顶点的乘积为零则它们相邻。$R$ 的零因子图记为 $\Gamma(R)$。我们从完全性、k-部结构、完全 k-部结构、正则性、弦性、$\gamma - \beta$ 完美性、单纯顶点等属性讨论了 $\Gamma(\mathbb{Z}_n)$。并求得了任意 $\Gamma(\mathbb{Z}_n)$ 的团数。本工作还探讨了有限乘积 $\Gamma(\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_k})$ 的相关属性，试图将某些结果推广到乘积环。我们找出了所有完美的 $\Gamma(\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_k})$。类似地，给出了 $\Gamma(\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n)$ 团数的下界。随后，本文讨论了偏序集 $D_n$（正整数 $n$ 的正因子按整除关系构成的偏序集）的零因子图的一些性质。