关于距离谱极值问题中的一个猜想

Brualdi 和 Hoffman 提出了一个著名的问题：在给定规模 $m$ 的所有图中，求具有最大邻接谱半径的图。Friedland 和 Stanley 对某些特定情形进行了早期工作。该问题后来被 Rowlinson 完全解决，并由 Cheng 和 Weng 重新审视。Graham 和 Pollak，以及 Graham 和 Lovász 对距离矩阵进行了开创性工作。图 $G$ 的距离谱半径 $\rho(G)$ 是其距离矩阵的最大特征值。在本文中，我们完全解决了在所有规模为 $m$ 的连通图中， characterize 具有最小距离谱半径的图的问题。设 $\mathcal{G}(m)$ 为所有规模为 $m$ 的连通图的类。对于每一个 $m \ge 3$，设 $n$ 为唯一满足 $\binom{n-1}{2} < m \le \binom{n}{2}$ 的整数，我们记 $m = \binom{n-1}{2} + s$ 其中 $1 \le s \le n-1$。最近，Lin 和 Zhou [Adv. in Appl. Math. 173 (2026)] 研究了 $\mathcal{G}(m)$ 中最小化 $\rho(G)$ 的图，在区间 $s \ge \max\{ \frac{n-6}{2}, 1\}$ 中。然而，在剩余区间 $1 \le s \le \frac{n-7}{2}$ 中，问题更为困难，他们 conjectured unique minimizer 为 $\overline{P_{n,s+1}}$，即平衡不相交路径补图。我们采用新颖的矩阵分析方法，肯定了这个猜想。此外，我们提供了一个覆盖整个区间 $1 \le s \le n-1$ 的新统一证明。我们证明论证中的关键要素包括一种创新的距离谱半径比较原理、对 $\Phi$-函数在路径和环上的增量分析、一种平衡路径长度的论证，以及一种通过 Neumann 级数实现的步数枚举技术。