固定规模图的极端距离谱半径

设 $m$ 为正整数。Brualdi 和 Hoffman 提出了在给定图类中寻找具有最大谱半径的（连通）图的问题，他们为规模为 $m$ 的图类提出了一个猜想。Friedland 和 Stanley 的部分结果，以及 Rowlinson 的完全证明，确认了这一猜想。图的距离谱半径是其距离矩阵的最大特征值。我们研究在规模为 $m$ 的图类中寻找最小距离谱半径的连通图的问题。给定 $m$，恰好存在唯一一个正整数 $n$ 使得 ${n-1\choose 2} <m\leq {n\choose 2}$。我们给出所有 $m$ 的极端图结构的一些性质，并解答了 ${n-1\choose 2}+\max\{\frac{n-6}{2},1\}\le m\leq {n\choose 2}$ 的情况。我们给出剩余情况的猜想。为证明主要结果，我们还确定了在给定阶数下，具有大距离谱半径和小距离谱半径的森林的补图。