图的谱半径与连通性的极大极小问题

在过去几十年中，许多学者关注哪些边极值问题具有谱类比？最近，王、康和薛在 $F$-自由图上给出了一个有趣的结果 [J. Combin. Theory Ser. B 159 (2023) 20--41]。在本文中，我们在临界图上研究上述问题。设 $P$ 是定义在图族 $\mathbb{G}$ 上的一个性质。若图 $G \in \mathbb{G}$ 具有性质 $P$，但对任意边 $e \in E(G)$，删除 $e$ 后 $G-e$ 不再具有性质 $P$，则称 $G$ 为 $P$-临界图。特别地，一个图是极小 $k$-(边)连通的，若它是 $k$-连通（相应地，$k$-边连通）且删除任意一条边后得到的图不再是 $k$-连通（相应地，$k$-边连通）。一个有趣的极大极小问题 asks: $n$ 个顶点的极小 $k$-(边)连通图的最大谱半径是多少？2019 年，陈和郭给出了 $k=2$ 的答案。2021 年，范、Goryainov 和 Lin 确定了极小 3-连通图的极值谱半径。我们获得了极小 $k$-(边)连通图的一些结构性质。此外，我们解决了 $k \geq 3$ 时的上述极大极小问题，这意味着具有最大谱半径的极小 $k$-(边)连通图也具有最大边数。最后，我们提出了一个一般性问题供进一步研究。