分数 $k$-因子关键图在最小度数条件下为 $k$-因子关键的充分条件

若删除任意 $k$ 个顶点后剩余子图仍拥有完美匹配, 则图 $G$ 称为 $k$-因子关键。Fan 和 Lin [Adv. in Appl. Math. 174 (2026) 103019] 提出了一种基于最小度数的图为 $k$-因子关键的邻接谱条件。若删除任意 $k$ 个顶点后剩余子图仍拥有分数完美匹配, 则图 $G$ 称为分数 $k$-因子关键。显然, 分数 $k$-因子关键性是图为 $k$-因子关键的必要属性。Jia、Fan 和 Liu [Discrete Appl. Math. 386 (2026) 255-263] 提出了一种以谱半径为条件的紧充分条件, 用于判定具有分数 $k$-因子关键性的图是否为 $k$-因子关键。一个自然问题是: 我们能否通过纳入图的最小度数参数来推导类似的充分条件? 我们首先在最小度数为 $k+1$ 的图中建立一个下界, 以确保具有分数 $k$-因子关键性的图为 $k$-因子关键。此外, 我们提供了一种以谱半径为条件的充分条件, 用于判定 $(k+1)$-连通图具有分数 $k$-因子关键性是否为 $k$-因子关键。我们的结果将 Jia、Fan 和 Liu 的结果推广到 $(k+1)$-连通图。 Furthermore,我们的谱条件适用于与 Fan 和 Lin 以及 Jia 等人的結果相比更广泛的连通图族。