图存在$k$-因子与生成树的充分条件

对任意整数$k\geq1$,若图$G$含有一个$k$-正则生成子图,则称其具有一个$k$-因子。本文证明了基于$r$-团个数的充分条件,以保证最小度至少为$\delta$的图存在$k$-因子,该条件改进了O \cite{O2021}基于边数的充分条件。对任意整数$k\geq2$,连通图$G$的生成$k$-树是指其中每个顶点度数至多为$k$的生成树。受Li和Ning \cite{Li2016}技术的启发,我们给出了$m$-连通图具有生成$k$-树的紧谱条件,将Fan、Goryainov、Huang和Lin \cite{Fan2021}的结果从$m=1$推广到一般$m$。设$T$为连通图的生成树。$T$的叶度是指对任何$v\in V(T)$,$T$中与$v$相邻的叶子的最大数目。我们给出了最小度为$\delta$的连通图中存在叶度至多为$k$的生成树的紧谱条件,其中$k\geq1$为整数。