$k$叶连通图与总$ k$ -excess受限生成树的充分条件

Chvátal 和 Erdős 证明了对于$m$连通图 $G$，若其独立数 $\alpha(G)\leq m-1$，则 $G$ 为Hamilton-connected。注意到$k$叶连通性是图Hamilton-connected性的自然推广。Ozeki 和 Yamashita 提出了一个开放问题：基于独立数的$m$连通图为$k$叶连通的充分条件是什么？本文证明若 $\alpha(G)\leq m-k+1$，则$m$连通图 $G$ 为$k$叶连通。这不仅解答了Ozeki 和 Yamashita 的开放问题，也扩展了Chvátal-Erdős 定理。作为应用，我们给出$m$连通图为$k$叶连通的充分谱条件。设 $k\geq 2$ 为整数， $T$ 为连通图的生成树。总$k$ -excess $te(T,k)$ 是图中所有顶点$k$ -excess 的求和，即 $te(T,k)=\sum_{v\in V(T)}\mbox{max}\{0, d_{T}(v)-k\}$。可以看出， $T$ 为生成$k$ -树当且仅当 $te(T,k)=0$。Fan 等人在Linear Multilinear Algebra 中给出了连通图包含生成$k$ -树的充分谱条件。本文我们提出以谱半径为基础的充分条件，使得连通图包含总$te(T,k)\leq b$的生成树，其中 $b\geq0$ 为整数。