k-叶连通图充分条件的改进

对整数 $k\geq2$，若图 $G$ 满足 $|V(G)|\geq k+1$ 且对任意子集 $S\subseteq V(G)$ 且 $|S|=k$，$G$ 总存在一棵生成树 $T$ 使得 $S$ 恰为 $T$ 的叶集，则称 $G$ 为 $k$-叶连通图。因此，图是 $2$-叶连通的当且仅当它是 Hamilton-连通的。本文给出基于图的大小的、保证图 $k$-叶连通的最佳可能条件，该条件不仅改进了 Gurgel 与 Wakabayashi [On $k$-leaf-connected graphs, J. Combin. Theory Ser. B 41 (1986) 1-16] 以及 Ao、Liu、Yuan 与 Li [Improved sufficient conditions for $k$-leaf-connected graphs, Discrete Appl. Math. 314 (2022) 17-30] 的结果，还推广了 Xu、Zhai 与 Wang [An improvement of spectral conditions for Hamilton-connected graphs, Linear Multilinear Algebra, 2021] 的结果。我们的关键方法是证明：一个大小足够大的 $(n+k-1)$-闭的非 $k$-叶连通图必含一个大团。作为应用，我们还给出了基于 $G$ 或其补图的（无符号拉普拉斯）谱半径的图 $k$-叶连通充分条件。