有界度生成树的数目

对图 G，令 c_k(G) 为 G 的最大度不超过 k 的生成树数目。对 k≥3，证明了每个满足 r ≥ n/(k+1) 的连通 n 顶点 r-正则图 G 均有 $$c_k(G)^{1/n} \ge (1-o_n(1)) r \cdot z_k$$ 其中 z_k > 0 极快地趋于 1（例如 z_{10}=0.999971）。最小度条件是本质紧的，因为对每个 k≥2，存在连通 n 顶点 r-正则图 G 满足 r=⌊n/(k+1)⌋-2 使得 c_k(G)=0。正则性可放宽：将 r 替换为度序列的几何平均，将 z_k 替换为同样趋于 1 的 z_k^* > 0，只要最大度不超过 n(1-(3+o_k(1))\sqrt{\ln k/k})。只要最小度至少为 n/k(1+o_k(1))，则对最大度无限制时也成立。