存在高度连通或边连通子图的充分最小度条件

Mader 于 1979 年猜想，图中至少 $3k-1$ 的平均度足以保证存在一个 $(k+1)$-连通子图。以下最小度类似结论成立：每个最小度至少为 $3k-1$ 的图都包含一个顶点数超过 $2k$ 的 $(k+1)$-连通子图。此外，对于无三角形图，至少 $2k$ 的平均度就足以保证存在一个至少有 $2(k+1)$ 个顶点的 $(k+1)$-连通子图。对于边连通度（在简单图中），我们证明了以下结论：每个平均度至少为 $2k$ 的图都包含一个顶点数超过 $2k$ 的 $(k+1)$-边连通子图。此外，对于每个小的 $\alpha>0$ 以及相对于 $\alpha$ 足够大的 $k$，仅需至少 $k+k^{\frac{1}{2}+\alpha} = \big(1+o(1)\big)k$ 的最小度就足以保证存在一个 $(k+1)$-边连通子图。研究表明，所有这些结果在某种意义上都是精确的。这些结果被应用于将图分解为两个高度连通或边连通的部分。